obiectivul acestui modul este de a prezenta conceptele de bază ale analizei varianței cu un și doi factori (ANOVA), care pot fi înțelese ca un model liniar de bază.
La sfârșitul acestui modul vei putea:
Cum poate fi utilă ANOVA pentru a testa dacă există diferențe între valoarea medie a unei variabile continue la diferite niveluri ale uneia sau mai multor variabile categoriale

Înțelege și identifica condițiile necesare pentru aplicarea acestor tehnici

Efectua o analiză a varianței unidirecțională și multiplă și interpreta rezultatele obținute

Definim o variabilă de răspuns, o variabilă continuă de interes

În plus, avem informații despre diferitele categorii ale unei variabile calitative. Această variabilă categorială se numește factor, iar fiecare categorie posibilă se numește nivel

Valoarea medie (neobservată) a variabilei noastre de răspuns la nivelul 𝑖 se notează 𝜇_𝑖

Tehnicile GLM prezentate aici sub forma ANOVA permit răspunsul la întrebări potențial interesante. Cateva exemple:

Lucrătorii bărbați și femei dintr-o regiune realizează același salariu mediu anual?

Studenții unui curs care urmează metode de predare diferite obțin aceeași notă medie?

Consumul mediu săptămânal al anumitor medicamente este diferit în funcție de grupele de vârstă și/sau de sex?

ANOVA cu un singur factor este potrivită pentru întrebările 1 și 2, în timp ce întrebarea 3 necesită ANOVA cu doi factori
 

Să presupunem că avem un eșantion de studenți, toți care urmează același curs, repartizați în clasele a, b și c

Elevii clasei (a) urmează o metodă tradițională de predare bazată pe prelegeri. Elevii de la (b) urmează un sistem bazat pe teme, în timp ce studenții de la (c) urmează un sistem mixt

Avem date eșantion despre distribuția notelor lor (scala de la 0 la 10) așa cum este reprezentată în boxplot

Dorim să testăm dacă există diferențe semnificative statistic privind notele lor medii, în funcție de metoda de predare aplicată
 

Scop. Pentru a testa efectul unei variabile independente (FACTOR) clasificată în mai multe categorii k (NIVELURI) asupra unei variabile dependente numerice (VARIABILĂ DE RĂSPUNS)

Se bazează pe descompunerea variabilității totale a eșantionului

Putem aborda această problemă ca un test de ipoteză statistică a unei ipoteze nule (H0; implicită) față de alternativă (H1; o viziune alternativă asupra lumii)

Testul este formulat în funcție de media variabilei răspuns la nivelurile factorului nostru
 

Ipotezele necesare pentru efectuarea testului ANOVA sunt
 Populații normale: distribuția variabilei răspuns la fiecare nivel ar trebui să fie normală
 Egalitatea varianțelor: variațiile variabilei răspuns între niveluri trebuie să fie aceleași
 Eșantioane independente: datele eșantionului de la fiecare nivel al factorului nu sunt corelate cu celelalte date ale eșantionului (colectate de la celelalte niveluri)
 

Se ia eșantionul de date pe X și descompunem variabilitatea acesteia (dispersia în jurul mediei eșantionului) în două părți:

În cadrul grupului (SSW) ține cont de variabilitatea internă
Variabilitatea între (SSB) reprezintă diferențele dintre media eșantionului fiecărui grup și media mare

Variabilitatea totală (SST) este doar suma SSW+SSB

Dacă SSB este mult mai mare decât SSW, se sugerează că există diferențe semnificative între mediile grupului. Deci, vor exista diferențe semnificative în ceea ce privește mediile între nivelurile factorului

Descompunerea variabilității

Pentru a compara ponderea relativă a SSB și SSW asupra variabilității totale, le-am scalat împărțind la numărul de grade de libertate, producând valorile MSB și respectiv MSW

Dacă ipotezele necesare sunt valabile, statistica (d) calculată ca MSB∕MSW se distribuie ca un model F

x_"ijr"  este valoarea variabilei noastre de răspuns pentru individul r la categoria (nivelul) i al factorului α și nivelul j al factorului  β
Presupunem că aceste valori se îndepărtează de marea medie ("μ"), ca suma a patru efecte:

O schimbare ("α" _i ) care surprinde influența medie a apartenenței la nivelul i al factorului α
O a doua schimbare (β_j) care surprinde influența medie a apartenenței la nivelul j al factorului β 
Un termen de interacțiune între acești doi factori (αβ)_"ij"   
O eroare  "u" _"ir" , care explică variații aleatorii, necontrolate. Se presupune că acest rezidual se distribuie normal cu medie zero

Testul ANOVA este acum extins pentru a lua în considerare un al doilea factor plus o posibilă interacțiune

Acum, comparațiile dintre diferitele părți ale variabilității sunt mai complexe

Fiecare sursă de variație este comparată (scalată în mod convenabil după numărul de grade de libertate) cu varianța reziduală

Intuiția este aceeași ca și în cazul ANOVA cu un singur factor, dar există trei teste diferite

O instituție sanitară dorește să analizeze potențiala influență a vârstei și sexului asupra utilizării unui medicament. În acest scop este realizat un sondaj pe un eșantion, iar utilizatorii au fost grupați în funcție de vârstă în patru categorii (copii, adolescenți, adulți, seniori) și sex.

Un sondaj pe un eșantion este realizat în acest scop și utilizatorii au fost grupați pe vârstă în patru categorii (copii, adolescenți, adulți, seniori) și sex. A fost extras un eșantion de 24 de persoane, selectând în mod independent 3 persoane în funcție de sex și grup de vârstă.

Variabila de răspuns este consumul lunar al acestui medicament (în €),

Testăm mai întâi dacă ipotezele necesare sunt valabile, rulând testul de normalitate și varianțe egale. Teste de normalitate (pentru toate grupele de vârstă și cele două sexe):

Ambele teste sunt trecute, astfel încât ANOVA cu doi factori poate fi efectuată